九上期末质检复习系列——纯函数系列（2）

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【试题】在平面直角坐标系xOy中，定义直线y=ax+b为抛物线y=ax²+bx的特征直线，C（a，b）为其特征点．设抛物线y=ax²+bx与其特征直线交于A、B两点（点A在点B的左侧）．

（1）当点A的坐标为（0，0），点B的坐标为（1，3）时，特征点C的坐标为____________；

（2）若抛物线y=ax²+bx如图所示，请在所给图中标出点A、点B的位置；

（3）设抛物线y=ax²+bx的对称轴与x轴交于点D，其特征直线交y轴于点E，点F的坐标为（1，0），DE∥CF．

①若特征点C为直线y=﹣4x上一点，求点D及点C的坐标；

②若0.5＜OE/OD＜2，求b的取值范围．

【解析】

（1）解题思路：先求直线AB的解析式，再根据“特征点”的定义，得到C点坐标.

      由A（0，0），B（1.3），可求直线AB：y=ax+b，代入，解得：a=3，b=0，所以直线的解析式为y=3x，抛物线的解析式为y=3x²，再根据特征点的定义，不难得到点C（3，0）．

（2）显然应该先求出A、B两点的坐标，然后现描点。

      联立直线y=ax+b与抛物线y=ax²+bx，可得：ax²+（b﹣a）x﹣b=0，将左边因式分解得到（ax+b）（x﹣1）=0，解得：x=﹣b/a，x=1，

∴A（1，a+b），B（﹣b/a，0）．

点A、点B的位置如图所示:

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（3）①解题思路：根据条件先找出a与b的关系，进一步得到D点坐标，最后利用特征直线与平行四边形的性质，求出C点坐标.

      如下图示，

      因为特征点C（a，b）为直线y=﹣4x上一点，所以b=﹣4a．同时抛物线y=ax²+bx的对称轴(x=－b/2a=2)与x轴交于点D，所以点D的坐标为（2，0）．

      如下图示：

      又点F的坐标为（1，0），得DF=1．另一方面，因特征直线y=ax+b交y轴于点E，所以E（0，b）．而点C的坐标为（a，b），所以CE∥DF．又已知DE∥CF，因此得到四边形DECF为平行四边形．如下图示：

      进一步得到：CE=DF=1．所以a=﹣1．因此特征点C为（﹣1，4）．

②解题思路：先确定a的取值范围，再根据条件确定b与a的函数关系，然后根据a的取值范围，结合函数（b与a的函数有关系）图象，求出b的取值范围.

      由上述已求得：C（a，b），E（0，b），F（1，0），D（﹣b/(2a)，0）.

      由已知1/2＜tan∠ODE＜2，得到：1/2＜OE/OD＜2，将相关数据代入，得：

化简得：1/2＜|2a|＜2.

解得﹣1＜a＜﹣1/4或1/4＜a＜1，

      又由上述证得四边形DECF为平行四边形，所以CE=DF，得到：

【反思】注意对新定义中的概念的理解，并注意数形结合思想在解题的运用.

特别强调：

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